参考书籍：《数学分析》 华东师大第四版
《实分析》第三版 陶哲轩
我选择了陶哲轩的前四章来讲述实数部分，之后采用华东师大的
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲⑳
实数与运算、集合与关系：
实数
这里我用的是陶哲轩的实分析，对于实数讲的比较严谨清晰。
定义实数的大致过程如下：
$\color{teal}{自然数{\Bbb {N}}\implies 整数\Bbb {Z}}$
$\color{teal}{\implies 有理数\Bbb Q \implies实数 \Bbb{R} \implies 复数{\Bbb Q}}$
自然数
$Peano公理$
$\color{red}{Peano公理}$
我们要定义实数，就要先定义什么是自然数。因此，我们陈述以下公理：
1. $\color{blue}{0是一个自然数。}$
2. $\color{blue}{若 n 是自然数，}$${\color{blue}{则 n++ 也是自然数。}}$ （这里的n++意思是n往后一位的数字）
Eg：$3$是自然数
3. $\color{blue}{0不是任何自然数的后继。}$
公理三出现的原因是：例如在计算机中，因为储存单元有限，一旦数字大过某一值后，再$++$就会变为$0$. Eg:如果只能记忆三个数字,则在{$0,1,2,3$} 中，在 $3++$ 后，会变成$0$。
Eg：$4\neq0$;
4.$\color{blue}{不同自然数必有不同后继者}$；即：若$ n,m $是自然数且$n\neq m,则n++ \neq m++$。
Eg:$6\neq2$。
5.$\color{blue}{数学归纳法}$
注记：自然数是有限的（$0$是有限数，$n$为有限数，则$n++$为有限数），但自然数集是无限的（$n$趋于无限）。
注记：自然数是公理化的。也就是说自然数不是经过定义而得到的。
加法
$\color{red}{加法运算}$
目前为止自然数只有一种运算，就是$++$,我们定义一个更加复杂的算法：加法。
$:=$的意思是 定义为
加法定义：$0+m:=m$，$(n++)+m:=(n+m)++$
加法性质：
①$\because 0+0=0$
假设 $n+0=n$
则$(n++)+0=(n+0)++=n++$
故得证：$\color{blue}{n+0=n}$
②因为$0+(m++)=m++=(0+m)++$
设$n+(m++)=(n+m)++$
则$(n++)+(m++)=[(n++)+m]++$
即：$\color{blue}{n+(m++)=(n+m)++}$
证毕！
③$\color{blue}{加法交换律}$
已知：$0+m=m=m+0$
假设：$n+m=m+n$
则；$(n++)+m=(n+m)++$$=(m+n)++=m+(n++)$
证毕！
④$\color{blue}{加法结合律}$
已知 $(a+b)+0=a+b=a+(b+0)$
设：$(a+b)+c=a+(b+c)$
则: $(a+b)+(c++)=$$[(a+b)+c]++=[a+(b+c)]$$++=a+[(b+c)++]=$$a+[b+(c++)]$
⑤$\color{blue}{消去律}$
已知：$0+b=0+c$ 时，有 $b=c$
设：$a+b=a+c$时，有$b=c$
则：$(a++)+b=(a++)+c$时，有$(a++)+b$$=(a+b)++=$$(a+c)++=(a++)+c$
几种关系及性质
$假设集合A，以及基于A$$上的关系{\Bbb {R}}$
$自反：如果a是A的元素，那么$$<a,a>是R的元素 $
$反自反：如果a是A的元素，$$那么<a,a>不是R的元素 $
$对称： 如果<a,b>是R的元素，$$那么<b,a>是R的元素$
$反对称：如果<a,b>，<b,a>$$是R的元素，那么a,b相等$
$传递： 如果<a,b>，<b,c>$$是R的元素，那么<a,c>是R的元素$
正自然数定义：当且仅但不等于$0$得时候叫做正自然数。
自然数序的定义: $设m,n为自然数,$$则m大于等于n，$$写作 m\geq n 或n\leq m。$$当且仅当存在某自然数a，$$有m=n+a。$$m严格大于n，写作m>n或n<m$$,当且仅当m\geq n且m\neq n。$
正自然数序性质：
①(自反性)$a\geq a$
②(传递性)$若a\geq b,b\geq c,则a\geq c$
③(反对称性)$若a\geq b,b\leq a,则a=c$
④(保序性)$a\geq b当且仅当a+c\geq b+c$
⑤$a<b当且仅当a++\leq b$
⑥$a<b当且仅当对于某正数d，b=a+d$
⑦(三歧性)$设a，b是自然数，那么下面三个恰有一个是真的$：$$a<b, a=b ,a>b$$
乘法
$\color{red}{乘法运算}$
自然数的乘法定义：$设是自然数，定义0\times m :=0。$$定义(n++)\times m:=(n\times m)+m。$$（n\times m :=nm）$
乘法性质：
设a，b，c，n，m是自然数，则有
①$(\color{blue}{交换律})n\times m=m\times n$
②$(\color{blue}{无零因子}）设nm=0，$当且仅当$n，m中有一个为0.$
③$(\color{blue}{结合律}）(ab)c=a(bc)$
⑤$(\color{blue}{保序性}）设a<b，c是正数，则 ac<bc$
⑥$(\color{blue}{消去律}）设ac=bc，c不为0，则a=b$
$\color{blue}{欧几里得算法}$
$设n是自然数$$且q是整数，则存在自然$$数m，r，使得0\leq r<q且n=mq+r$
$\color{blue}{指数运算}$
$设m是自然数，m^0:=1,m^{n++}=m^n\times m$
整数
定义：
整数是形如 $a—b$ 的表达式,$a,b$是自然数$a—b=c—d$当且仅当$a+d=b+c$(自反性，对称性，传递性)
加法：
$(a—b)+(c—d)$:$=(a+c)—(b+d)$
乘法：
$(a—b)$$\times$$(c—d):=$$(ac+bd)—$$(ad+bc)$
$n与n—0$同构
$x++:=x+1$
$—(a—b)=(b—a)$
三歧性
①$x$是零
②$x$等于一个正的自然数$n$
③$x$是一个正自然数的负数$-n$
运算律（证明是交换环）
$x+y=y+x$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$x+0=0+x=x$
$x+(-x)=(-x)+x=0$
$xy=yx$
$(xy)z=x(yz)$
$x1=1x=x$
$x(y+z)=xy+xz$
$(y+z)x=yx+zx$
不含零除数
若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$或$a$,$b$都为$0$。
整数顺序
①$a>b$当且仅当$a-b$是正自然数
②加法保序
③正乘法保序
④负运算反序
⑤传递性
⑥三歧性
有理数
定义：$a//b=c//d$当且仅当$ad=bc$
加法乘法负运算
倒数
若$x=a//b $ 则 $x^{-1}=b//a$
运算律(证明是域)
$x+y=y+x$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$x+0=0+x=x$
$x+(-x)=(-x)+x=0$
$xy=yx$
$(xy)z=x(yz)$
$x1=1x=x$
$x(y+z)=xy+xz$
$(y+z)x=yx+zx$
$xx^{-1}=x^{-1}x=1$
商
$a/b=a\times b^{-1}$
三歧性
①$x$是零
②$x$等于一个正的比例数
③$x$是一个负的比例数
顺序
①$x>y$当且仅当$x-y$是正的比例数
②$x<y$
③$x\geq y$当且仅当$x>y$或者$x=y$
④$x\leq y$
序的性质
①三歧性
②反对称 $x>y \Leftrightarrow y<x$
③传递性
④加法保序
⑤正乘法保序
无理数
两个有理数中存在有理数（有理数稠密性）
$\frac{x+y}{2} $
不存在一个有理数 $x,St. x^2=2$.
假设 $\exists x=\frac pq$,则$p^2=2q^2,q<p$，则$p$为偶数，设$p=2k$,则$4k^2=2q^2$,即$q^2=2k^2$,故可以得到$k^2=2m^2$,$m^2=2n^2\cdots$且$p>q>k>m>n>\cdots$，而实际上这样的数列是不能存在的，我们找不到比$0$更小的数。
集合
公理：集合是对象
集合相等：
两个集合$A和B$是相等的$\Leftrightarrow$每个$A$中元素都是$B$中元素，反之亦然。(自反性，对称性，传递性)（无序性）
空集
把不含任何元素的集合叫做空集$\emptyset$,$\forall x$都有$x\notin \emptyset.$
单元素集合
$\lbrace \emptyset \rbrace$
双并
$x\in A\bigcup B$
子集
$A\subseteq B$
真子集
$A\subsetneq B$
分离公理
一个集合可以挑出子集合。
$y\in\lbrace x\in A|P(x)\rbrace成立$
交
$A\bigcap B$
差
$A\backslash B$
集合性质(构成boole代数)
①最小元
②最大元
③相等
④交换律
⑤结合律
⑥分配律
⑦分拆律$A\bigcup (X\backslash A)=A$,$A\bigcap (X\backslash A)=\emptyset$
⑧$De Morgan律$: $X\backslash (A\bigcup B)=(X\backslash A)\bigcap (X\backslash B)$ $X\backslash (A\bigcap B)=(X\backslash A)\bigcup (X\backslash B)$
⑨替换
⑩无限
罗素悖论（理发师悖论）
概括公理指出每一个集合都有一个性质可以描述，但是会有一个逻辑上的矛盾：$P(x)\Leftrightarrow x是一个集合，且x\notin x$;